Question

如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6米，BC=8米，动点P以2米/秒得速度从A点出发，沿AC向C移动，同时，动点Q以1米/秒得速度从C点出发，沿CB向B移动。当其中有一点到达终点时，他们都停止移动，设移动的时间为t秒。

（1）①当t=2.5秒时，求△CPQ的面积；

     ②求△CPQ的面积S（平方米）关于时间t（秒）的函数关系式；

（2）在P、Q移动的过程中，当△CPQ为等腰三角形时，写出t的值；

（3）以P为圆心，PA为半径的圆与以Q为圆心，QC为半径的圆相切时，求出t的值。

Answer

【解析】
在Rt△ABC中，AB=6米，BC=8米，∴AC=10米

由题意得：AP=2t，CQ=10-2t

（1）①过点P作PD⊥BC于D。

∵t=2.5，AP=2×2.5=5，QC=2.5

∴PD=AB=3，∴S=×QC×PD=3.75

②过点Q作QE⊥PC于点E

易知Rt△QEC∽Rt△ABC，∴，QE=

∴S=

（2）当秒（此时PC=QC），秒（此时PQ=QC），或秒（此时PQ=PC）△CPQ为等腰三角形；

（3）过点P作PF⊥BC于点F，则有△PCF∽△ACB

∴，即

∴PF=，FC=

则在Rt△PFQ中，

当⊙P与⊙Q外切时，有PQ=PA+QC=3t，此时

整理得：，解得

故⊙P与⊙Q外切时，；

当⊙P与⊙Q内切时，有PQ=PA-QC=t，此时

整理得：，解得

故⊙P与⊙Q内切时

【解析】略