Question

（10分）如图，已知直角梯形ABCD中，AD//BC， DC⊥BC，AB＝5，BC＝6，∠B＝53°．点O为BC边上的一个点，连结OD，以O为圆心，BO为半径的⊙O分别交边AB于点P，交线段OD于点M，交射线BC于点N，连结MN．

（1）当BO＝AD时，求BP的长；

（2）在点O运动的过程中，线段 BP与MN能否相等？若能，请求出当BO为多长时BP＝MN；若不能，请说明理由；

（3）在点O运动的过程中，以点C为圆心，CN为半径作⊙C，请直接写出当⊙C存在时，⊙O与⊙C的位置关系，以及相应的⊙C半径CN的取值范围.

(参考数据：cos53°≈0．6；sin53°≈0．8；tan74°3.5)

Answer

【解析】
（1）∵AD//BC,BO=AD

∴四边形AB0D为平行四边形-------------------------------------------------------------------------1分

∴AB//OD, ∠COD=∠ABO=53°，DO=AB=5

在RtOCD中， , BO=BC-CO=3.-----------------2分

在RtPOB中，BO=PO, ∴BP=-------------------------------------------3分

（2）不存在.---------------------------------------------------------------4分

如图,过A点作AE⊥BC交BC于E点.若BP = MN，则△BOP≌△MON--------------------------------5分 

∴∠BOP=∠MON=180°- 2∠B = 74°

DC=AE= -------------------------------------------------------------------------6分

在RtOCD中，.     BO=BC-CO= 

在△POB中,BP= 

因为AB=5,所以BP>AB.

又因为P点在边AB上，即BP＜AB.

所以BP与MN不可能相等.--------------------------------------------------------------------------- 8分

（3）当⊙O与⊙C外切，CN 取值范围为 0< CN < 6 ------------ 9分

当⊙O与⊙C内切，CN 取值范围为 ------------- 10分

【解析】略