Question

(本小题满分12分)

如图，直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠DAB=90°，AD=2DC=4，AB=6．动点M以每秒1个单位长的速度，从点A沿线段AB向点B运动；同时点P以相同的速度，从点C沿折线C-D-A向点A运动．当点M到达点B时，两点同时停止运动．过点M作直线l∥AD，与折线A-C-B的交点为Q．点M运动的时间为t（秒）．

（1）当时，求线段的长；

（2）点M在线段AB上运动时，是否可以使得以C、P、Q为顶点的三角形为直角三角形，若可以，请直接写出t的值（不需解题步骤）；若不可以，请说明理由．

（3）若△PCQ的面积为y，请求y关于出t 的函数关系式及自变量的取值范围；

Answer

【解析】
（1）由Rt△AQM∽Rt△CAD．      ……………………………………………2分

∴．  即，∴． …………………………………1分

（2）或或4．               ……………………………………………3分

（3）当0＜t＜2时，点P在线段CD上，设直线l交CD于点E

由（1）可得．  即QM=2t．∴QE=4-2t．………………………2分

∴S△PQC =PC·QE= ………………………………………………1分

即

当＞2时，过点C作CF⊥AB交AB于点F，交PQ于点H.

．

由题意得，．

∴ ．                 ∴．

∴ ．          ∴．

∴ 四边形AMQP为矩形． 

∴ PQ∥．CH⊥PQ，HF=AP=6- t

∴ CH=AD=HF= t-2     …………………………………………………………1分

∴S△PQC =PQ·CH=         ………………………………………1分

即y=

综上所述 或y= ( 2<<6) …………………1分

【解析】略