Question

如图，在菱形ABCD中，AB=2cm，∠BAD=60°，E为CD边中点，点P从点A开始沿AC方向以每秒cm的速度运动，同时，点Q从点D出发沿DB方向以每秒1cm的速度运动，当点P到达点C时，P，Q同时停止运动，设运动的时间为x秒.

1.当点P在线段AO上运动时.

①请用含x的代数式表示OP的长度；

②若记四边形PBEQ的面积为y，求y关于x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）

2.显然，当x=0时，四边形PBEQ即梯形ABED，请问，当P在线段AC的其他位置时，以P，B，E，Q为顶点的四边形能否成为梯形？若能，求出所有满足条件的x的值；若不能，请说明理由.

Answer

1.①由题意得∠BAO=30°，AC⊥BD

    ∵AB=2  ∴OB=OD=1，OA=OC=

    ∴OP=                                          ……………2分

    ②过点E作EH⊥BD，则EH为△COD的中位线

    ∴   ∵DQ=x       ∴BQ=2-x

    ∴                …………………………1分

                            …………………………1分

∴      …………………………2分

2.能成为梯形，分三种情况：

    当PQ∥BE时，∠PQO=∠DBE=30°

        ∴

        即  ∴x=

此时PB不平行QE，

∴x=时，四边形PBEQ为梯形.                 ………………………2分

当PE∥BQ时，P为OC中点

∴AP=，即

        ∴

此时，BQ=2-x=≠PE，

∴x=时，四边形PEQB为梯形.                            …………………2分

当EQ∥BP时，△QEH∽△BPO

    ∴    ∴

    ∴x=1（x=0舍去）

    此时，BQ不平行于PE，

∴x=1时，四边形PEQB为梯形.                   ………………………………2分

综上所述，当x=或或1时，以P，B，E，Q为顶点的四边形是梯形. 

 【解析】略