Question

如图，已知抛物线与x轴交于点A(-2,0),B(4,0)，与y轴交于点C(0,8)．

1.求抛物线的解析式及其顶点D的坐标

2.设直线CD交x轴于点E，过点B作x轴的垂线，交直线CD于点F，在坐标平面内找一点G，使以点G、F、C为顶点的三角形与△COE相似，请直接写出符合要求的，并在第一象限的点G的坐标；

3.在线段OB的垂直平分线上是否存在点P，使得点P到直线CD的距离等于点P到原点O的距离？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；

4.将抛物线沿其对称轴平移，使抛物线与线段EF总有公共点．试探究：抛物线向上最多可平移多少个单位长度？

Answer

1.设抛物线解析式为，

把代入得．……………1分

，顶点……………2分

2.G(4,8),  G(8,8),  G(4,4) ……………3分

3.假设满足条件的点存在，依题意设，

由求得直线的解析式为…………1分

它与轴的夹角为，设的中垂线交于，则．

则，点到的距离为．

又．．

平方并整理得：，．……………1分

存在满足条件的点，的坐标为．……………1分

4.由上求得．

抛物线向上平移，可设解析式为．

当时，．

当时，．或．……………1分

．

∴向上最多可平移72个单位长。……………2分

 【解析】略