Question

如图，两个同心圆的圆心是O，大圆的半径为13，小圆的半径为5，AD是大圆的直径．大圆的弦AB，BE分别与小圆相切于点C，F．AD，BE相交于点G，连接BD．

(1)求BD 的长；

(2)求∠ABE+2∠D的度数；

(3)求的值．

Answer

（1）10

（2）180°

（3）

【解析】解: (1)连接OC.

∵AB是小圆的切线,C是切点,

∴OC⊥AB,

∴C是AB的中点.   …………………1分

∵AD是大圆的直径,

∴O是AD的中点.

∴OC是△ABD的中位线.

∴BD=2OC=10.  ………………………2分

(2)由(1)知C是AB的中点.

同理F是BE的中点.

由切线长定理得BC=BF.

∴BA=BE.                            ………………………………3分

∴∠BAE=∠E.

∵∠E=∠D,  ………………………………………………………………4分

∴∠ABE+2∠D=∠ABE+∠E+∠BAE=180º.    …………………………5分

(3)在Rt△OCB中,

∵OB=13,  OC=5,

∴BC=12.      ……………………………………………………………6分

由(2)知∠OBG=∠OBC=∠OAC.

∵∠BGO=∠AGB,

∴△BGO∽△AGB.    ……………………………………………………7分

∴.   ……………………………………8分