Question

如图，在矩形ABCD中，BC=20cm，P，Q，M，N分别从A，B，C，D出发沿AD，BC，CB，DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止．已知在相同时间内，若BQ=xcm()，则AP=2xcm，CM=3xcm，DN=x2cm．

（1）当x为何值时，以PQ，MN为两边,以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边构成一个三角形；

（2）当x 为何值时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形；

（3）以P，Q，M，N为顶点的四边形能否为等腰梯形?如果能，求x的值；如果不能，请说明理由．

Answer

（1）

（2）当时,以P,Q,M,N为顶点的四边形是平行四边形

（3）以P，Q，M，N为顶点的四边形不能为等腰梯形

【解析】【解析】
（1）当点P与点N重合或点Q与点M重合时,以PQ，MN为两边,以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边可能构成一个三角形.

①当点P与点N重合时,

(舍去).…1分

因为BQ+CM=,此时点Q与点M不重合.

所以符合题意.  ……………………2分

②当点Q与点M重合时,

.

此时,不符合题意.

故点Q与点M不能重合.

所以所求x的值为.……………………3分

(2)由(1)知,点Q 只能在点M的左侧,

①当点P在点N的左侧时,

由,

解得.

当x=2时四边形PQMN是平行四边形.………………5分

②当点P在点N的右侧时,

由, 

解得.

当x=4时四边形NQMP是平行四边形.

所以当时,以P,Q,M,N为顶点的四边形是平行四边形.  …7分

(3)过点Q，M分别作AD的垂线,垂足分别为点E，F.

由于2x>x,

所以点E一定在点P的左侧.

若以P，Q，M，N为顶点的四边形是等腰梯形, 

则点F一定在点N的右侧,且PE=NF,   …………8分

即.

解得.

由于当x=4时, 以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形,

所以以P，Q，M，N为顶点的四边形不能为等腰梯形.…10分