Question

如图1，平面直角坐标系xOy中，A，B．将△OAB绕点O顺时针旋转a角（0°＜a＜90°）得到△OCD（O，A，B的对应点分别为O，C，D），将△OAB沿轴负方向平移m个单位得到△EFG（m＞0，O，A，B的对应点分别为E，F，G），a，m的值恰使点C，D，F落在同一反比例函数(k≠0)的图象上．

1.（1）∠AOB=    °，a=    °；

2.（2）求经过点A，B，F的抛物线的解析式；

3.（3）若（2）中抛物线的顶点为M，抛物线与直线EF的另一个交点为H，抛物线上的点P满足以P，M，F，A为顶点的四边形的面积与四边形MFAH的面积相等（点P不与点H重合），请直接写出满足条件的点P的个数，并求位于直线EF上方的点P的坐标．

Answer

1.（1）∠AOB= 30 °，a= 60 °

2.（2）∵ A，B，△OAB绕点O顺时针旋转a角得到△OCD，（如图7）

∴ OA=OB=OC=OD=4．

由（1）得 ．

∴ 点C与点A关于x轴对称，点C的坐标为．

∵ 点C，D，F落在同一反比例函数（k≠0）的图象上，

∴ ．

∵ 点F是由点A沿轴负方向平移m个单位得到，

∴ ，，点F的坐标为．……………3分

∴ 点F与点A关于y轴对称，可设经过点A，B，F的抛物线的解析式为．

∴   解得

∴ 所求抛物线的解析式为． …………………………………4分

3.（3）满足条件的点P的个数为 5 ．………………………………………………5分

            抛物线的顶点为．

            ∵ △EFG是由△OAB沿轴负方向平移m个单位得到，

∴ ，，∠FEG=∠AOB=30°．

∴ 点E的坐标为．

可得直线EF的解析式为．

∵ 点H的横坐标是方程的解，

整理，得．

解得 ．

∴ 点H的坐标为．

由抛物线的对称性知符合题意的点的坐标为．……………6分

可知△AFM是等边三角形，∠MAF= 60°．

由A，M两点的坐标分别为A，，

可得直线AM的解析式为．

过点H作直线AM的平行线l，设其解析式为（b≠8）．

将点H的坐标代入上式，得 ．

解得，直线l的解析式为．

∵ 直线l与抛物线的交点的横坐标是方程 的解．

整理，得．解得．

∴ 点满足，四边形的面积与四边形MFAH的面积相等．（如图8）……………………………………………7分

            点关于y轴的对称点也符合题意，其坐标为．………8分

综上所述，位于直线EF上方的点P的坐标分别为，

，．

【解析】略