Question

在Rt△ABC中，∠C=90°，D，E分别为CB，CA延长线上的点，BE与AD的交点为P.

  1.（1）若BD=AC，AE=CD，在图1中画出符合题意的图形，并直接写出∠APE的度数；

  2.（2）若，，求∠APE的度数.

Answer

1.（1）如图9，∠APE=  45   °

2.（2）解法一：如图10，将AE平移到DF，连接BF，EF．

                                       ……………………3分

则四边形AEFD是平行四边形．

∴ AD∥EF，AD=EF．

∵ ，，

∴ ，．

∴ ．……………………………………………………4分

∵ ∠C=90°，

∴ ．

∴ ∠C=∠BDF．

∴ △ACD∽△BDF．………………5分

                    ∴ ，∠1=∠2．

图10

∴ ．

∵ ∠1+∠3=90°，

∴ ∠2+∠3=90°．

∴ BF⊥AD ．

∴ BF⊥EF．…………………………………………………………6分

∴ 在Rt△BEF中，．

∴ ∠APE=∠BEF =30°．…………………………………………7分

解法二：如图11，将CA平移到DF，连接AF，BF，EF．………………3分

则四边形ACDF是平行四边形．

∵ ∠C=90°，

∴ 四边形ACDF是矩形，∠AFD=∠CAF= 90°，∠1+∠2=90°．

∵ 在Rt△AEF中，，

在Rt△BDF中，，

∴ ．

∴ ∠3+∠2=∠1+∠2=90°，即∠EFB =90°．

∴ ∠AFD=∠EFB． …………………4分

                    又∵ ，

                    ∴ △ADF∽△EBF． ………………………………………………5分

                    ∴ ∠4=∠5．…………………………………………………………6分

                    ∵ ∠APE+∠4=∠3+∠5，

                    ∴ ∠APE=∠3=30°．………………………………………………7分

【解析】略