Question

阅读材料，回答问题(本题满分12分)

如图，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm，点P沿AB边从A向B以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从D向A以1cm/s的速度移动.如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动时间（0≤t≤6），那么：

1.（1）当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？

2.（2）求四边形QAPC的面积；你有什么发现？

3.（3）当t为何值时，以点A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？

Answer

1.（1）对于任意时刻的t有：AP=2t，DQ=t，AQ=6-t，

       当AQ=AP时，△AQP为等腰直角三角形

        即6-t=2t，∴t=2，

       ∴ 当t=2时，△QAP为等腰直角三角形.

2.（2）在△AQC中，AQ=6-t，AQ边上的高CD=12，

       ∴S△AQC= 

在△APC中，AP=2t，AP边上的高CB=6，

∴S△APC= 

∴四边形QAPC的面积SQAPC= S△AQC +S△APC=36-6t+6t=36（cm2）

经计算发现：点P、Q在运动的过程中，四边形QAPC的面积保持不变

3.（3）根据题意，应分两种情况来研究：

   错误！未找到引用源。当时，△QAP∽△ABC，则有，求得t=1.2（秒）

错误！未找到引用源。当时，△PAQ∽△ABC，则有，求得t=3（秒）

∴当t=1.2或3秒时，以点A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似

【解析】略