Question

如图（1），△ABC与△EFD为等腰直角三角形，AC与DE重合，AB=AC=EF=9，∠BAC=∠DEF=90º，固定△ABC，将△DEF绕点A顺时针旋转，当DF边与AB边重合时，旋转中止．现不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设DE，DF(或它们的延长线)分别交BC(或它的延长线) 于G，H点，如图(2)

 

（1）问：始终与△AGC相似的三角形有     及    ；

（2）设CG=x，BH=y，求y关于x的函数关系式（只要求根据图(2)的情形说明理由）

（3）问：当x为何值时，△AGH是等腰三角形.

Answer

【解析】
（1）△HAB ，△HGA。

           （2）∵△AGC∽△HAB，∴，即。

                ∴。

                又∵BC=。

                ∴y关于x的函数关系式为。

           （3）①当∠GAH= 45°是等腰三角形.的底角时，如图1，

                   可知。

                ②当∠GAH= 45°是等腰三角形.的顶角时, 如图2，

                  在△HGA和△AGC中

                  ∵∠AGH=∠CGA，∠GAH=∠C=450，

                  ∴△HGA∽△AGC。

                  ∵AG=AH，∴

                ∴当或时，△AGH是等腰三角形。

【解析】（1）在△AGC和△HAB中，

            ∵∠AGC=∠B+∠BAG=∠B+900—∠GAC=1350—∠GAC，

              ∠BAH=∠BAC+∠EAF—∠EAC=900+450—∠GAC，

            ∴∠AGC=∠BAH。

            又∵∠ACG=∠HBA=450，∴△AGC∽△HAB。

            在△AGC和△HGA中，

            ∵∠CAG=∠EAF—∠CAF=450—∠CAF，

               ∠H=1800-∠ACH—∠CAH=1800—1350—∠CAF=450—∠CAF，

             ∴∠CAG=∠H。

             又∵∠AGC=∠HGA，∴△AGC∽△HGA。

        （2）利用△AGC∽△HAB得对应边的比即可得。

        （3）考虑∠GAH是等腰三角形.底角和顶角两种情况分别求解即可。