Question

如图，抛物线交轴于A、B两点（A点在B点左侧），交轴于点C，已知B（8，0），，△ABC的面积为8.

1.求抛物线的解析式；

2.若动直线EF（EF∥轴）从点C开始，以每秒1个长度单位的速度沿轴负方向平移，且交轴、线段BC于E、F两点，动点P同时从点B出发，在线段OB上以每秒2个单位的速度向原点O运动。连结FP，设运动时间秒。当为何值时，的值最大，并求出最大值；

3.在满足（2）的条件下，是否存在的值，使以P、B、F为顶点的三角形与△ABC相似。若存在，试求出的值；若不存在，请说明理由。

Answer

1.由题意知 ∠COB = 90°B(8，0)  OB=8 在Rt△OBC中tan∠ABC =   

OC= OB×tan∠ABC = 8×=4 ∴C(0,4) 

       ∴AB = 4  A(4,0)

把A、B、C三点的坐标带入得 解得  

所以抛物线的解析式为。

2.C ( 0, 4 )  B ( 8, 0 )  E ( 0, 4-t ) ( t > 0)

 OC = 4  OB = 8  CE = t  BP=2t  OP =8-2t 

∵EF // OB ∴△CEF ～△COB

∴  则有     得 EF = 2t

 =

  当t=2时 有最大值2.

3.存在符合条件的t值，使△PBF与△ABC相似。

C ( 0, 4 )  B ( 8, 0 )  E ( 0, 4-t )  F(2t , 4 - t )  P ( 8-2t , 0 )

 ( t > 0)

    AB = 4   BP=2t  BF =

 ∵ OC = 4  OB = 8  ∴BC =  

①当点P与A、F与C对应   则，代入得    解得  

②当点P与C、F与A对应   则，代入得   解得 （不合题意，舍去）

综上所述：符合条件的和。

 【解析】略