Question

已知抛物线经过点A（，0）、B（m，0）（m>0），且与y轴交于点C． 

⑴求a、b的值（用含m的式子表示）

⑵如图所示，⊙M过A、B、C三点，求阴影部分扇形的面积S（用含m的式子表示）；

⑶在x轴上方，若抛物线上存在点P，

使得以A、B、P为顶点的三角形与相似，求m的值．

Answer

（1）

（2）

（3）

【解析】⑴依题意得有，解得………………………(2分)

∴抛物线的解析式为：

⑵∵时，，∴C(0，)

∵，∴，∴

又∵，∴……(5分)

⑶如图，由抛物线的对称性可知，若抛物线上存在点P，使得以A、B、P为顶点的三角形与△ABC相似，则P关于对称轴的对称点P’也符合题惫，即P、P’对应的m值相同．下面以点P在对称轴右侧进行分析：…………………………………………… (6分)

情形一：如图，ΔABC∽△APB

则，

过点P作垂足为D，连PA、PB．在Rt△PDA中，∵，∴PD=AD，∴可令P(x，x+1)

若点P在抛物线上，

则有

由①、②有

整理得：，解得：