Question

△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D是BC的中点，把一个三角板的直角顶点放在点D处，将三角板绕点D旋转且使两条直角边分别交AB、AC于E、F .

（1）如图1，观察旋转过程，猜想线段AF与BE的数量关系并证明你的结论；

（2）如图2，若连接EF，试探索线段BE、EF、FC之间的数量关系，直接写出你的结论（不需证明）；

（3）如图3，若将“AB=AC，点D是BC的中点”改为：“∠B=30°，AD⊥BC于点D”，其余条件不变，探索（1）中结论是否成立？若不成立，请探索关于AF、BE的比值.

Answer

（1）证明略

（2）

（3）

【解析】【解析】
（1）结论：AF=BE.  ………………………………….1分

证明：连接AD，

∵ AB=AC，∠BAC=90°，点D是BC的中点

∴ AD=BD=DC=BC  ，∠ADB=∠ADC=90°,

∴ ∠B=∠C=∠1=∠2=45°.

∴ ∠3+∠5==90°.

∵ ∠3+∠4==90°,

∴ ∠5=∠4

∵ BD=AD,

∴ △BDE≌△ADF.

∴ BE=AF.  ………………………………………………………………………3分

（2）…………………………………………………………4分

（3）（1）中的结论BE=AF不成立.   ……………………………………… 5分

∵ ∠B=30°，AD⊥BC于点D，∠BAC=90°,

∴ ∠3+∠5==90°，  ∠B+∠1==90°.

∵ ∠3+∠4==90°，∠1+∠2==90°    

∴ ∠B=∠2 ，  ∠5=∠4.

∴ △BDE∽△ADF.

∴ .………………………………………………… 6分