Question

如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以 OA长为半径的⊙O与AD、AC分别交于点E、F,且∠ACB=∠DCE．

（1）求证：CE是⊙O的切线；   

（2）若tan∠ACB=，AE=7，求⊙O的直径．

Answer

（1）证明略

（2）

【解析】（1）证明：连接OE，

        ∵ 四边形ABCD是矩形，

∴ AD∥BC，∠D=90°．

        ∴ ∠3=∠1，∠2+∠5=90°．  …………………………… 1分

又 OA=OE， ∴ ∠3=∠4．

∵ ∠1=∠2，

∴ ∠4=∠2．    …………………………………………… 2分

∴ ∠4+∠5=90°，即∠OEC=90°．

∴ OE⊥EC．

∴ CE是⊙O的切线． ……………………………………… 3分

（2）【解析】
连接EF，

∵ AF是直径，∴∠AEF=90°．

∵ ∠ACB=∠3，

∴ tan∠3=tan∠ACB=．………………………………………… 4分

在RtΔAEF中，∵ tan∠3=，∴ cos∠3=．

∴ AF==．  即 ⊙O的直径等于．  ………………… 5分