Question

如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=8，AC=6，M是AB上的动点（不与A、B重合），过M点作MN∥BC交AC于点N．以MN为直径作⊙O，并在⊙O中作内接矩形AMPN．令AM=x．

（1）用含x的代数式表示△MNP的面积S；

（2）当x为何值时，⊙O与直线BC相切？

（3）在点M的运动过程中，设△MNP与梯形BCNM重合的面积为y，求y关于x的函数关系式，并求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？

Answer

（1）

（2）当时，⊙O与直线BC相切

（3）8

【解析】【解析】
（1）∵MN∥BC， ∴△AMN∽△ABC．

∴ ， 即．

∴ AN＝x． 

∴．……………………………… 2分

（2）如图2，作OD⊥BC于点D，当OD =MN时，⊙O与直线BC相切．

在Rt△ABC中，BC ==10．

由（1）知 △AMN ∽ △ABC．

∴ ，即．

∴ MN=．

过M点作ME⊥BC 于点E，

∵sinB=，∴．

∴．

∴，解得．

∴当时，⊙O与直线BC相切．    ………………… 4分

（3）随点M的运动，当P点落在直线BC上时，如图3，连结AP，则O点为AP的中点．

∵ MN∥BC，

∴ ，即 AM=MB=4．

故分以下两种情况讨论：

① 当0＜≤4时，．

∴ 当=4时，．……………… 5分

② 当4＜＜8时，如图4，设PM、PN分别交BC于E、F．

∵ 四边形AMPN是矩形，  ∴ PN∥AM，PN=AM=x．

又∵ MN∥BC， ∴ 四边形MBFN是平行四边形．

∴ FN=BM=8－x．

∴ PF=PN–FN = x -(8 - x) = 2x -8．

又△PEF∽△ACB，∴ ．

∴ ．

∴ ＝．

∵ 二次项系数，且当时，满足4＜＜8，

∴  ．…………………………………………………………………………… 6分

综上所述，当时，值最大，最大值是8．  …………………… 7分