Question

如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，P是直线BC上一点．(1) 若CP=CD，求证：△DBP是等腰三角形；(2) 在图①中建立以△ABC的边BC的中点为原点，BC所在直线为x轴，BC边上的高所在直线为y轴的平面直角坐标系，如图②，已知等边△ABC的边长为2，AO=，在x轴上是否存在除点P以外的点Q，使△BDQ是等腰三角形？如果存在，请求出Q点的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer

.证明：∵△ABC是等边三角形  ∴∠ABC=∠ACB=60° ∵BD是中线  ∴∠DBC=30°

∵CP=CD  ∴∠CPD=∠CDP  又∵∠ACB=60° ∴∠CPD=30°∴∠CPD=∠DBC

∴DB=DP即△DBP是等腰三角形．

(2) 【解析】
在x轴上存在除点P以外的点Q，使△BDQ是等腰三角形

①若点P在x轴负半轴上，且BP=BD  ∵BD=  ∴BP=

∴OP=   ∴点P1（，0）②若点P在x轴上，且BP=PD

∵∠PBD=∠PDB=30° ∴∠DPC=60°又∠PCD=60°∴PC=DC=1

而OC=1  ∴OP=0  ∴点P2（0，0）

③若点P在x轴正半轴上，且BP=BD   ∴BP=    而OB=1

∴OP=    ∴点P3（，0）

【解析】略