Question

（2011•常州）在平面直角坐标系XOY中，一次函数的图象是直线l₁，l₁与x轴、y轴分别相交于A、B两点．直线l₂过点C（a，0）且与直线l₁垂直，其中a＞0．点P、Q同时从A点出发，其中点P沿射线AB运动，速度为每秒4个单位；点Q沿射线AO运动，速度为每秒5个单位．

（1）写出A点的坐标和AB的长；

（2）当点P、Q运动了多少秒时，以点Q为圆心，PQ为半径的⊙Q与直线l₂、y轴都相切，求此时a的值．

Answer

【解析】
（1）∵一次函数的图象是直线l1，l1与x轴、y轴分别相交于A、B两点，

∴y=0时，x=﹣4，

∴A（﹣4，0），AO=4，

∵图象与y轴交点坐标为：（0，3），BO=3，

∴AB=5；

（2）由题意得：AP=4t，AQ=5t，==t，

又∠PAQ=∠OAB，

∴△APQ∽△AOB，

∴∠APQ=∠AOB=90°，

∵点P在l1上，

∴⊙Q在运动过程中保持与l1相切，

①当⊙Q在y轴右侧与y轴相切时，设l2与⊙Q相切于F，由△APQ∽△AOB，得：

∴，

∴PQ=6；

连接QF，则QF=PQ，由△QFC∽△APQ∽△AOB，

得：，

∴，

∴，

∴QC=，

∴a=OQ+QC=，

②当⊙Q在y轴的左侧与y轴相切时，设l2与⊙Q相切于E，由△APQ∽△AOB得：=，

∴PQ=，

连接QE，则QE=PQ，由△QEC∽△APQ∽△AOB得：=，

∴，=，

∴QC=，a=QC﹣OQ=，

∴a的值为和，

【解析】略