Question

（本题满分12分）在平面直角坐标系xOy中，边长为a（a为大于0的常数）的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点P，顶点A在x轴正半轴上运动，顶点B在y轴正半轴上运动（x轴的正半轴、y轴的正半轴都不包含原点O），顶点C、D都在第一象限。

（1）当∠BAO=45°时，求点P的坐标；

（2）求证：无论点A在x轴正半轴上、点B在y轴正半轴上怎样运动，点P都在∠AOB的平分线上；

（3）设点P到x轴的距离为h，试确定h的取值范围，并说明理由。

Answer

.【解析】
（1）当∠BAO=45°时，四边形OAPB为正方形

OA=OB=a·cos45°=a

∴P点坐标为（a，a）

（2）作DE⊥x轴于E,PF ⊥x轴于F,

设A点坐标为（m,0）,B点坐标为（0,n）

∵∠BAO+∠DAE=∠BAO+∠ABO=90°

∴∠DAE=∠ABO

在△AOB和△DEA中：

∴△AOB≌和△DEA（AAS）

∴AE=0B=n,DE=OA=m,

则D点坐标为（m+n,m）

∵点P为BD的中点，且B点坐标为（0,n）

∴P点坐标为（,）∴PF=OF=

∴∠POF=45°,

∴OP平分∠AOB。即无论点A在x轴正半轴上、点B在y轴正半轴上怎样运动，点P都在∠AOB的平分线上；

（3）当A,B分别在x轴正半轴和y轴负半轴上运动时，设PF与PA的夹角为α，

则0°≤α＜45°

h=PF=PA·cosα=a·cosα

∵0°≤α＜45°∴＜cosα≤1    

∴a＜h≤a

【解析】略