Question

（11·珠海）（本题满分9分）已知：如图，锐角△ABC内接于⊙O，∠ABC＝45°；

点D是上一点，过点D的切线DE交AC的延长线于点E，且DE∥BC；连结AD、BD、

BE，AD的垂线AF与DC的延长线交于点F．

（1）求证：△ABD∽△ADE；

（2）记△DAF、△BAE的面积分别为S_△DAF、S_△BAE，求证：S_△DAF＞S_△BAE．

Answer

证明：（1）连结OD．                               ……………………1分

∵DE是⊙O的切线，

∴OD⊥DE．

又∵DE∥BC，

∴OD⊥BC．

∴＝．                                     ……………………2分

∴∠BAD＝∠EAD．

∵∠BDA＝∠BCA，DE∥BC，

∴∠BDA＝∠DEA．

∴∠BAD＝∠EAD，

∴△ABD∽△ADE．                               ……………………5分

（2）由（1）得＝，即AD2＝AB·AE               ……………………6分

设在△ABE中，AE边上的高为h，则：

∴S△ABE＝ h·AE，且h＜AB．

由∠ABC＝45°，AD⊥AF可推得△ADF为等腰直角三角形

∴S△DAF＝ AD2．                                 ……………………8分

∴S△DAF＝S△BAE

∴△DAF＞△BAE．                      

【解析】略