Question

（11·珠海）（本题满分9分）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，

AD＝AB＝1，BC＝2．将点A折叠到CD边上，记折叠后A点对应的点为P（P与D点不重

合），折痕EF只与边AD、BC相交，交点分别为E、F．过点P作PN∥BC交AB于N、交

EF于M，连结PA、PE、AM，EF与PA相交于O．

（1）指出四边形PEAM的形状（不需证明）；

（2）记∠EPM＝a，△AOM、△AMN的面积分别为S₁、S₂．

Answer

（1）四边形AMPE为菱形                             ……………………2分

（2）证明：∵四边形AMPE为平行四边形， EPM＝a

∴∠MAP＝a    S1＝OA·OM．                        ……………………4分

∵在Rt△OM中，tan＝，∴OM＝OA·tan．

＝＝OA·OM×＝OA2＝×(PA)2＝PA2．……………………5分

（3）过D作DH垂直于BC于H，交NP于点K，

则：DK⊥PN，BH＝AB＝AD＝DH＝1，DK＝AN＝x．

∵CH＝BC－BH＝2－1＝1，

∴CH＝DH．

∴∠NPD＝∠BCD＝45°．

∴PK＝DK＝x．

∴PN＝1＋x．

在Rt△ANP中，

AP2＝AN 2＋PN 2＝x2＋(1＋x)2＝2x2＋2x＋1．              ……………………6分

过E作PM的垂线EG（垂足为G），令△EGM的面积为S．

∵△EGM∽△AOM，

∴＝()2＝＝．

则S＝ S1．

∵四边形ANGE的面积等于菱形AMPE的面积，

∴2S1＝S2＋S．

∴S1－S2＝S－S1＝ S1－S1＝(－1)S1．

∴y＝＝(－1)×

＝(－1)× PA2＝ (4x2－AP2)．

∴y＝x2－x－．

【解析】略