Question

（12分）如图，P是等边三角形ABC内的一点，连结PA、PB、PC，以BP为边作等边三角形BPM，连结CM.

（1）观察并猜想AP与CM之间的大小关系，并说明你的结论；

（2）若PA:PB:PC=1::，试判断△PMC的形状，并说明理由.

Answer

【解析】
（１）AP=CM.

证明:因为△ABC是等边三角形,所以AB=BC, ∠ABC＝60°,而△PBM也是等边三角形,所以PB=MB, ∠PBM＝60°,则∠ABP＝∠MBC.所以△ABP≌△CBM．所以AP＝CM.

(2) △PMC是直角三角形.

因为 PA:PB:PC=1::,设PA=k, PB=k, PC=k.因为△PBM是等边三角形,

所以PM= PB=k.又因为由(1)知AP=CM,所以CM=PA=k. 则,, ,,且,即.所以△PMC是直角三角形.且∠PMC＝90°.

【解析】略