Question

如图，在平面直角坐标系中，点A（10，0），以OA为直径在第一象限内作半圆C，点B是该半圆周上一动点，连结OB、AB，并延长AB至点D，使DB=AB，过点D作x轴垂线，分别交x轴、直线OB于点E、F，点E为垂足，连结CF．

1.当∠AOB=22.5°时，求弧AB的长度；

2.当DE=8时，求线段EF的长；

3.在点B运动过程中，是否存在以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似，若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

1.连结BC,

∵A（10，0）, ∴OA=10 ,CA=5,∵∠AOB=22.5°,∴∠ACB=2∠AOB=45°,

∴弧AB的长=; 

2.连结OD,

得OE=,∴AE=AO－OE=10-6=4,

由△OEF∽△DEA,

∴,即，∴EF=3；或12

3.设OE=x，

①当交点E在O，C之间时，∴E1（，0）；∴E2（，0）;

②当交点E在点C的右侧时，

△CEF∽△AED,  ∴,而AD=2BE,     ∴,

即,  解得, ＜0（舍去），∴E3（，0）;

③当交点E在点O的左侧时，

△  CEF∽△AED,  ∴，而AD=2BE,   

∴,∴,    解得,

＜0（舍去）,  ∴E4（，0）,

综上所述：存在以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似,

此时点E坐标为：

（，0）、（，0）、（，0）、（，0）．

 【解析】略