Question

如图，正方形ABCD的边长是2，M是AD的中点．点E从点A出发，沿AB运动到点B停止．连接EM并延长交射线CD于点F，过M作EF的垂线交射线BC于点G，连接EG、FG．

（1）设AE=x时，△EGF面积为y．求y关于x的函数关系式，并填写自变量x的取值范围；

（2）P是MG的中点，请直接写出点P运动路线的长．

Answer

（1）0≤x≤2

（2）2

【解析】（1）当点E与点A重合时，x=0，y=×2×2=2；

当点E与点A不重合时，0＜x≤2．

在正方形ABCD中，∠A=∠ADC=90°，

∴∠MDF=90°，∴∠A=∠MDF．

∵AM=DM，∠AMF=∠DMF，∴△AME≌△DMF，∴ME=MF．

在Rt△AME中，AE=x，AM=1，ME=．∴EF=2MF=2．

过点M作MN⊥BC，垂足为N（如图）．则∠MNG=90°，∠AMN=90°，MN=AB=AD=2AM．

∴∠AME+∠EMN=90°．

∵∠EMG=90°，∴∠GMN+∠EMN=90°，∴∠AME=∠GMN，

∴Rt△AME∽Rt△NMG，

∴，即，

∴MG=2ME=2，

∴y=EF·MG=×2×2=2x2+2，

∴y =2x2+2，其中0≤x≤2．

（2）点P运动路线的长为2．