Question

在图①至图③中，△ABC为直角三角形，且∠ABC＝90º，∠A＝30º，点P在AC上，∠MPN＝90º．

1.当点P为线段AC的中点，点M、N分别在线段AB、BC上，且PM⊥AB，

PN⊥BC（如图①）时，则PN和PM的数量关系是：PN=________PM；

2.当点P为线段AC的中点，点M、N分别在线段AB、BC上（如图②）时，求的值

3.当PC＝PA，点M、N分别在线段AB、BC上（如图③）时，求的值；

Answer

1.

2.过点P作PE⊥AB于点E，PF⊥BC于点F，

则∠PEM=∠PFN=90°，又∠ABC＝90º，∴四边形BFPE是矩形   

∴∠EPF＝90º，∵∠MPN＝90º，∴∠MPE+∠EPN=∠NPF+∠EPN=90°

∴∠MPE=∠NPF， ∴△PFN∽△PEM

∴＝，由（1）可知PF=PE，∴＝……………………6分

3.在Rt△ABC中，过点P作PE⊥AB于E，PF⊥BC于点F

∴四边形BFPE是矩形 ， ∴∠EPF＝90º，∵∠EPM＋∠MPF＝∠FPN＋∠MPF＝90º

可知∠EPM＝∠FPN ，∴△PFN∽△PEM ，∴＝  

又∵Rt△AEP和Rt△PFC中：∠A＝30º，∠C＝60º

∴PF＝PC，PE＝PA

∴＝＝ ，∵PC＝PA  ∴＝  ………………10分

 【解析】略