Question

在Rt△ABC中，∠＝90°，三角形的角平分线CE和高AD相交于点F，过F作FG∥BC交AB于点G，求证：(1)AE＝BG．(2)若∠=30°,,求四边形的面积．

Answer

略

【解析】证明：∵∠BAC=900

            AD⊥BC

          ∴∠1=∠B

          ∵CE是角平分线

          ∴∠2＝∠3

          ∵∠5＝∠1+∠2

            ∠4＝∠3+∠B

          ∴∠4＝∠5

          ∴AE＝AF……………1分

          过F作FM⊥AC并延长MF交BC于N

          ∴MN//AB

          ∵FG//BD

          ∴四边形GBDF为平行四边形

          ∴GB=FN……………2分

          ∵AD⊥BC,CE为角平分线

          ∴FD=FM

          在Rt△AMF和RtNDF中

          ∴△AMF≌△NDF

          ∴AF＝FN

          ∴AE＝BG……………5分

     (2)∵∠B＝300

            AB//NF

          ∴∠8＝300

         在Rt△FDN中，FN＝2FD＝10

          ∴AF＝AE＝BG＝FN＝10

          ∴∠BAD＝600

          ∴△AEF为等边△

          ∴EF＝AE＝10

          ∵GF//BC

          ∴∠EGB＝∠B＝300

            ∠4＝∠9+∠10＝600

          ∴∠9＝∠10＝300

             EG＝EF＝10

          在Rt△ABC中，tan300＝

          ∴AC＝10     ∠2＝300

         在Rt△CDF中，tan∠＝

          ∴CD＝

S四EBDF＝S△ABC－S△AEC－S△CDF＝

       ……………10分