Question

（本题满分12分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，过点D作⊙O的切线，交BC于点E.

1.（1）求证：点E是边BC的中点；（4分）

2.（2）若EC=3，BD=，求⊙O的直径AC的长度；（4分）

3.（3）若以点O，D，E，C为顶点的四边形是正方形，试判断△ABC的形状，并说明理由. （4分）

Answer

1.（1）证明：连接DO，

∵∠ACB=90°，AC为直径，  ∴EC为⊙O的切线，

又∵ED也为⊙O的切线，  ∴EC=ED.     （2分）

又∵∠EDO=90°，  ∴∠BDE+∠ADO=90°，

∴∠BDE+∠A=90°，

又∵∠B+∠A=90°  ∴∠BDE=∠B， ∴EB=ED.

∴EB=EC，即点E是边BC的中点.   

2.（2）∵BC，BA分别是⊙O的切线和割线，

∴BC2=BD·BA， ∴（2EC）2= BD·BA，即BA·=36，∴BA=，    （6分）

在Rt△ABC中，由勾股定理得 AC===.

3.（3）△ABC是等腰直角三角形.    （9分）

理由：∵四边形ODEC为正方形， ∴∠DOC=∠ACB=90°，即DO∥BC，

又∵点E是边BC的中点， ∴BC=2OD=AC, 

 ∴△ABC是等腰直角三角形.      （12分）

【解析】略