Question

抛物线交轴于、两点，交轴于点，顶点为.

1.（1）写出抛物线的对称轴及、两点的坐标（用含的代数式表示）

2.（2）连接并以为直径作⊙，当时，请判断⊙是否经过点，并说明理由；

3.（3）在（2）题的条件下，点是抛物线上任意一点，过作直线垂直于对称轴，垂足为. 那么是否存在这样的点，使△与以、、为顶点的三角形相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer

1.（1）过点C作CH⊥轴，垂足为H

 ∵在Rt△OAB中，∠OAB＝900，∠BOA＝300，AB＝2    ∴OB＝4，OA＝

 由折叠知，∠COB＝300，OC＝OA＝

∴∠COH＝600，OH＝，CH＝3    ∴C点坐标为（，3）

2.（2）∵抛物线（≠0）经过C（，3）、A（，0）两点

               ∴      解得：

    ∴此抛物线的解析式为：

3.（3）存在.  因为的顶点坐标为（，3）即为点C，MP⊥轴，设垂足为N，PN＝，因为∠BOA＝300，所以ON＝ ，  ∴P（，）

        作PQ⊥CD，垂足为Q，ME⊥CD，垂足为E

把代入得：

         ∴ M（，），E（，）

         同理：Q（，），D（，1）

         要使四边形CDPM为等腰梯形，只需CE＝QD

         即，解得：，（舍）

        ∴ P点坐标为（，）

∴ 存在满足条件的点P，使得四边形CDPM为等腰梯形，此时P点的坐为（，）      （12分）

【解析】略