Question

(12分)如图，抛物线的顶点为A（2，1），且经过原点O，与x轴的另一个交点为B．

1.（1）求抛物线的解析式；

2.（2）在抛物线上求点M，使△MOB的面积是△AOB面积的3倍；

3.（3）连结OA，AB，在x轴下方的抛物线上是否存在点N，使△OBN与△OAB相似？若存在，求出N点的坐标；若不存在，说明理由．

Answer

1.（1）由题意，可设抛物线的解析式为，

∵抛物线过原点，

∴， ．

∴抛物线的解析式为．

2.（2）和所求同底不等高，，

∴的高是高的3倍，即M点的纵坐标是． ……………5分

∴，即．

解之，得 ，．

∴满足条件的点有两个：，

3.（3）不存在．  …………………………………………………………………………9分

由抛物线的对称性，知，．

若与相似，必有．

设交抛物线的对称轴于点，显然．

∴直线的解析式为．

由，得，．

∴ ．

过作轴，垂足为．在中，，，

∴．

又OB=4，

∴，，与不相似．

同理，在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的点．

所以在该抛物线上不存在点N，使与相似．   …………12分

【解析】略