Question

（本题12分）△ABC中，∠A=∠B=30°，AB=．把△ABC放在平面直角坐标系中，使AB的中点位于坐标原点O (如图)，△ABC可以绕点O作任意角度的旋转．

1.(1)　当点B在第一象限，纵坐标是时，求点B的横坐标；

2.(2)　如果抛物线的对称轴经过点C，请你探究：

①当，，时，A，B两点是否都在这条抛物线上？并说明理由；

②设 ，是否存在这样的m的值，使A，B两点不可能同时在这条抛物线上？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．

Answer

1.(1) ∵ 点O是AB的中点， ∴ ．                  （1分）

设点B的横坐标是x(x>0)，则，                                                    （2分）

解得 ，(舍去)．  

∴ 点B的横坐标是

2.(2) ① 当，，时，得 (＊)

．                                                                                                    （5分）

以下分两种情况讨论．

情况1：设点C在第一象限(如图甲)，则点C的横坐标为，

．                              （6分）

由此，可求得点C的坐标为(，)，           （7分）

点A的坐标为(，)，

∵ A，B两点关于原点对称，

∴ 点B的坐标为 (，)．

将点A的横坐标代入(＊)式右边，计算得，即等于点A的纵坐标；

将点B的横坐标代入(＊)式右边，计算得，即等于点B的纵坐标．

∴ 在这种情况下，A，B两点都在抛物线上．                                                      （9分）

情况2：设点C在第四象限(如图乙)，则点C的坐标为(，-)，

点A的坐标为(，)，点B的坐标为

(，)．

经计算，A，B两点都不在这条抛物线上．          （10分）

② 存在．m的值是1或-1．                                                                                          （12分）

(，因为这条抛物线的对称轴经过点C，所以-1≤m≤1．当m=±1时，点C在x轴上，此时A，B两点都在y轴上．因此当m=±1时，A，B两点不可能同时在这条抛物线上)

【解析】略