Question

（1）操作发现

如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，且点G在矩行ABCD内部．小明将BG延长交DC于点F，认为GF=DF，你同意吗？说明理由．

（2）问题解决保持（1）中的条件不变，若DC=2DF，求的值；

（3）类比探求保持（1）中条件不变，若DC=nDF，求的值

Answer

（1）略

（2）

（3）（或）

【解析】解（1）同意. 连接EF，则∠BEG=∠D=90°，EG=AE=ED，EF=EF.

∴Rt△EGF≌Rt△EDF，∴GF=DF.      ………………………………1分

（2）由（1）知，GF=DF. 设DF=x，BC=y，则有GF=x，AD=y.

∵DC=2DF，∴CF=x，DC=AB=BG=2x. ∴BF=BG+GF=3x.

在Rt△BCF中，BC2+CF2=BP2，即y2+x2=(3x)2.

∴y=2x. ∴     …………………………………………3分

（3）由（1）知GF=DF. 设DF=x，BC=y，则有GF=x，AD=y.

∵DC=n·DF，∴DC=AB =BG=nx.

∴CF=（n-1）x，BF=BG+GF=（n+1）x.

在Rt△BCF中，BC2+CF2=BF2，即y2+[（n-1）x]2=[（n+1）x]2.

∴y=2x. ∴（或）   ………………………… 5分