Question

（11·贵港）（本题满分11分）

如图所示，在以O为圆心的两个同心圆中，小圆的半径为1，AB与小圆相切于点A，与大圆相交于点B，大圆的弦BC⊥AB于点B，过点C作大圆的切线CD交AB的延长线于点D，连接OC交小圆于点E，连接BE、BO．

（1）求证：△AOB∽△BDC；

（2）设大圆的半径为x，CD的长为y：

① 求y与x之间的函数关系式；

② 当BE与小圆相切时，求x的值．

Answer

（1）证明：如图，∵AB与小圆相切于点A，CD与大圆相交于点C，

∴∠OAB＝∠OCD＝90°

∵BC⊥AB    ∴∠CBA＝∠CBD＝90°………………1分

∵∠1＋∠OBC＝90°    ∠2＋∠OCB＝90°

又∵OC＝OB

∴∠OBC＝∠OCB

∴∠1＝∠2………………2分

∴△AOB∽△BDC………………3分

（2）【解析】
①过点O作OF⊥BC于点F，则四边形OABF是矩形………………4分

∴BF＝OA＝1

由垂径定理，得BC＝2BF＝2………………5分

在Rt△AOB中，OA＝1，OB＝x

∴AB＝＝………………6分

由（1）得△AOB∽△BDC

∴＝   即＝

∴y＝（或y＝）………………7分

② 当BE与小圆相切时，OE⊥BE

∵OE＝1，OC＝x

∴EC＝x－1  BE＝AB＝………………8分

在Rt△BCE中，EC2＋BE2＝BC2

即(x－1)2＋()2＝22………………9分

解得：x1＝2    x2＝－1（舍去）………………10分

∴当BE与小圆相切时，x＝2………………11分

【解析】略