Question

如图10-1，在平面直角坐标系中，点在轴的正半轴上， ⊙交轴于 两点，交轴于两点，且为的中点，交轴于点，若点的坐标为（－2，0），

(1)(3分)求点的坐标.                          

(2)(3分)连结，求证：∥

(3)(４分) 如图10-2，过点作⊙的切线，交轴于点.动点在⊙的圆周上运动时，的比值是否发生变化，若不变，求出比值；若变化，说明变化规律

Answer

（1）（０，４）

（2）证明略

（3）

【解析】解（１）方法（一）∵直径ＡＢ⊥ＣＤ

∴ＣＯ＝ＣＤ                                 ……1分

＝

∵Ｃ为的中点

∴＝

∴＝

∴ＣＤ＝ＡＥ                               ……2分

∴ＣＯ＝ＣＤ＝４

∴Ｃ点的坐标为（０，４）                    ……3分

方法（二）连接ＣＭ，交ＡＥ于点Ｎ

∵Ｃ为的中点，Ｍ为圆心

∴ＡＮ＝ＡＥ＝４                       ……1分

ＣＭ⊥ＡＥ

∴∠ＡＮＭ＝∠ＣＯＭ＝９０°

在△ＡＮＭ和△ＣＯＭ中：

∴△ＡＮＭ≌△ＣＯＭ                     ……2分

∴ＣＯ＝ＡＮ＝４

∴Ｃ点的坐标为（０，４）                 ……3分

解（２）设半径ＡＭ＝ＣＭ＝ｒ，则ＯＭ＝ｒ－２

由ＯＣ＋ＯＭ＝ＭＣ得：

４＋（ｒ－２）＝ｒ

解得：ｒ＝５                            ……1分

∵∠ＡＯＣ＝∠ＡＮＭ＝９０°

∠ＥＡＭ＝∠ＭＡＥ

∴△ＡＯＧ∽△ＡＮＭ

∴

               ∵ＭＮ＝ＯＭ＝３

即

∴ＯＧ＝ ……２分

∵

∴

∵∠ＢＯＣ＝∠ＢＯＣ

∴△ＧＯＭ∽△ＣＯＢ

∴∠ＧＭＯ＝∠ＣＢＯ

∴ＭＧ∥ＢＣ ……3分

（说明：直接用平行线分线段成比例定理的逆定理不扣分）

解（３）连结ＤＭ，则ＤＭ⊥ＰＤ，ＤＯ⊥ＰＭ

∴△ＭＯＤ∽△ＭＤＰ，△ＭＯＤ∽△ＤＯＰ

∴ＤＭ＝ＭＯ·ＭＰ；

ＤＯ＝ＯＭ·ＯＰ（说明：直接使用射影定理不扣分）

即４＝３·ＯＰ

∴ＯＰ＝              ……１分

当点Ｆ与点Ａ重合时：

当点Ｆ与点Ｂ重合时： ……２分

当点Ｆ不与点Ａ、Ｂ重合时：连接ＯＦ、ＰＦ、ＭＦ

∵ＤＭ＝ＭＯ·ＭＰ

∴ＦＭ＝ＭＯ·ＭＰ

∴

∵∠ＡＭＦ＝∠ＦＭＡ

∴△ＭＦＯ∽△ＭＰＦ

∴

∴综上所述，的比值不变，比值为                  ……4分