Question

（满分13分）如图12.1，已知抛物线经过坐标原点O和x轴上另一点E(4,0)，顶点M的坐标为 (m,4)，直角梯形ABCD的顶点A与点O重合，AD、AB分别在x轴、y轴上，且BC=1，AD=2，AB=3.

（1）求m的值及该抛物线的函数关系式；

（2）将直角梯形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图12.1所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动，同时一动点P也以相同的速度从点A出发向点B匀速移动，设它们运动的时间为t秒(0≤t≤3)，直线AB与该抛物线的交点为N(如图12.2所示).

① 当t为何值时，△PNC是以PN为底边的等腰三角形 ；

② 设以P、N、C、D为顶点的多边形面积为S，试问S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．

 

Answer

（1）由已知，根据抛物线的轴对称性，得m=2，

        ∴ 顶点M的坐标为(2,4)，                         ………………(1分)

故可设其关系式为y=a(x-2)2+4.

又抛物线经过O(0,0)，于是得a(0-2)2+4=0，解得 a=-1.  ………(3分)

∴ 所求函数关系式为y=-(x-2)2+4，即y=-x2+4x.             ………(4分)

（2）① ∵ 点A在x轴的正半轴上，且N在抛物线上，CB⊥PN,

∴ OA=AP=t，

∴ 点P，B，N的坐标分别为(t,t)，(t,3)，(t, -t2+4t).

∴ BP=3-t，AN= -t2+4t（0≤t≤3）.

∴ PN=AN-AP=(-t2+4t)-t=-t2+3t=t(3-t)≥0.                 ………(6分)

要使得△PNC是以PN为底边的等腰三角形，

只需PN=2BP，即-t2+3t=2(3-t)，

整理，得t2-5t+6=0，解得 t1=2，t2=3.

当t=3时，P，N两点重合，不符合题意，舍去.

        ∴ 当t=2时，△PNC是以PN为底边的等腰三角形.         ………(8分)

② S存在最大值.                                          ………(9分)

（ⅰ）当PN=0，即t=0或t=3时，以点P，N，C，D为顶点的多边形是三角形.

          若t=0，则S=AD·AB=·3·2=3.

若t=3，则S=BC·AB=·1·3=.

（ⅱ）当PN≠0，即0＜t＜3时，以点P，N，C，D为顶点的多边形是四边形.

连结PD，CN，则

S=S四边形ANCD-S△ADP= S梯形ABCD+S△BCN -S△ADP

        =(BC+AD)·AB+BN·BC-AP·AD

=(1+2)·3+(-t2+4t- 3)·1-t·2

=-t2+t+ 3=-(t-1)2+.

由-＜0，0＜t＜3，当t=1时，S最大=.

综上所述，当t=1时，以点P，N，C，D为顶点的多边形面积有最大值，

这个最大值为.                                  ………………(13分)

【解析】略