Question

（本题满分8分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，C为BD弧的中点，AC、BD交于点E．

（1）求证：△CBE∽△CAB；

（2）若S_△CBE∶S_△CAB＝1∶4，求sin∠ABD的值．

Answer

（1）证明：∵点C为弧BD的中点，∴∠DBC＝∠BAC，

             在△CBE与△CAB中；

            ∠DBC＝∠BAC，∠BCE＝∠ACB，

              ∴△CBE∽△CAB ．          ……4分

  （2） 【解析】
连接OC交BD于F点，则OC垂直平分BD

           ∵S△CBE：S△CAB＝1:4，△CBE ∽△CAB

            ∴AC：BC＝BC：EC＝2:1，∴ AC＝4EC

            ∴AE：EC＝3：1

           ∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°

           ∴AD∥OC，则AD：FC＝AE：EC＝3:1

            设FC＝a，则AD＝3a，   

            ∵F为BD的中点，O为AB的中点，

            ∴ OF是△ABD的中位线，则OF＝AD＝1.5a， 

            ∴OC＝OF+FC＝1.5a+a＝2.5a，则AB＝2OC＝5a，

           在Rt△ABD中，sin∠ABD ＝ ＝    …………………………8分

         （本题方法众多，方法不唯一，请酌情给分）

【解析】略