Question

如图①，矩形纸片ABCD的边长分别为a、b（a＜b），点M、N分别为边AD、BC上两点(点A、C除外)，连结MN.

（1）如图②，分别沿ME、NF将MN两侧纸片折叠，使点A、C分别落在MN上的A’、C’处，直接写出ME与FN的位置关系；

（2）如图③，当MN⊥BC时，仍按（1）中的方式折叠，请求出四边形A’EBN与四边形C’FDM

的周长（用含a的代数式表示），并判断四边形A’EBN与四边形C’FDM周长之间的数量关系；

（3）如图④，若对角线BD与MN交于点O，分别沿BM、DN沿ME、NF将MN两侧纸片折叠，折叠后，点A、C恰好都落在点O处，并且得到的四边形BNDM是菱形，请你探索a、b之间的数量关系；

（4）在（3）情况下，当a=时，求菱形BNDM的面积.

Answer

（1）平行

（2）相等

（3）

（4）

【解析】(1) ME∥FN     ………………2分

(2) ∵由折叠得知：A’E=AE， 四边形A’EBN是矩形，

∴四边形A’EBN的周长=2（A’E＋EB）=2（AE＋EB）=2AB=2a，…3分

同理，四边形C’FDM的周长=2a，

       ∴四边形A’EBN的周长=四边形C’FDM的周长  ………………4分

(3) ∵△OND是由△CND折叠得到的，

     ∴OD=CD=a,                                   

       同理，OB=a,

     ∴BD=2a      ………………6分

       在△BCD中，∠C=90°，由勾股定理得，

       BC2＋CD2=BD2，

     ∴b2＋a2=(2a)2

∴.     ………………7分

（4）当a=时，CD=，BC=3

在菱形BNDM中，DN=BN

         设DN=BN=x,则CN=3－x .在△DCN中，∠C=90°，由勾股定理得，

NC2＋CD2=ND2，  ………………8分

                ∴，

解得，，

         ∴ 菱形BNDM的面积= ………………9分.

 (其它解法可自行参照上述标准给分)