Question

 将两块全等的三角板如图1摆放，其中∠A₁CB₁＝∠ACB＝90°，∠A₁＝∠A＝30°。

1.(1)将图1中△A₁B₁C绕点C顺时针旋转45°得图2，点与AB的交点，点Q是与BC的交点，求证：=；

2.(2)在图2中,若AP₁=,则CQ等于多少?

3.(3)将图2中△绕点C顺时针旋转到△（如图3），点与AP₁的交点．当旋转角为多少度时,有△A P₁C∽△CP₁P₂? 这时线段之间存在一个怎样的数量关系?.

Answer

1.⑴证明：∵∠B1CB＝45°，∠B1CA1＝90°，∴∠B1CQ＝∠BCP1＝45°；

又B1C＝BC，∠B1＝∠B，∴△B1CQ≌△BCP1（ASA）∴CQ＝CP1

2.⑵【解析】
作P1D⊥AC于D，∵∠A＝30°∴P1D＝AP1；

∵∠P1CD＝45°，∴＝sin45°＝，∴CP1＝P1D＝AP1；

又AP1＝，CQ＝CP1 ，∴CQ＝

3.⑶【解析】
当∠P1CP2＝∠P1AC＝30°时，由于∠CP1P2＝∠AP1C，

则△AP1C∽△CP1P2，     这时，

∴P1P2＝CP1 ．        

【解析】略