Question

如图，直线与x轴、y轴分别相交于点B、点C，抛物线 经过B、C两点，与x轴的另一个交点为A，顶点为P，且抛物线的对称轴为.

1.求抛物线的函数表达式及顶点坐标；

2.连接AC，则在x轴上是否存在一点Q，使得以P、B、Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出所有点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer

1.在中,当时,

∴点C坐标为(0,3)

当时,有

∴点B坐标为           …1分

∴过B,

且对称轴为

∴                                          …2分

解得:

∴抛物线的解根据析式为:                     …3分

由知:

顶点P的坐标为:                                   …4分

2.在中,令,有:

∴

∴点A坐标为

∴

在Rt△BOC中,OB=OC=3

∴∠ABC=45° 

令与轴交于点D.则D点坐标为

∴在Rt△PBD中,PD=BD=1, ∠PBD=45°

PB=

假设在轴上存在点Q,使得△PBQ与△PBC相似

   ①若点Q在点B的右侧:

    (i)当,∠ABC=∠PBQ=45°时, △PBQ∽△CBA

此时,.

∴点Q的坐标为:                                 …6分

   (ii)当:, ∠ABC=∠PBQ=45°, △PBQ∽△ABC

此时,有:, BQ=3

此时点Q与点O重合,坐标为(0,0)                          …8分

   ②若点Q在点B的左侧

则: ∠PBQ=180°-45°=135°

在Rt△AOC中,

∴∠OAC>45°      ∴∠BAC<135°

而∠BAC为△ABC的最大内角.

此时△PBQ与△ABC不可能相似.                          …10分

综上所述:能使△PBQ与△ABC相似的符合条件的点Q有两种情况,坐标分别为:和(0,0)

 【解析】略