Question

如图，已知抛物线与轴交于点，，与y轴交于点．

（1）求抛物线的解析式及其顶点D的坐标；

（2）设直线CD交轴于点E．在线段OB的垂直平分线上是否存在点P，使得点P到直线CD的距离等于点P到原点O的距离？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由

Answer

（1）(1,9)

（2）点P坐标为 （2，）

【解析】【解析】
（1）设该抛物线的解析式为，

由抛物线与y轴交于点C（0，8）,可知c=8.

即抛物线的解析式为．                …………………1分

把，，代入, 得

解得.

∴ 抛物线的解析式为   ……………………………………………3分

∴ 顶点D的坐标为(1,9).        ……………………………………………………2分

（2）设OB的垂直平分线交x轴于点H，直线CD交线段OB的垂直平分线于点F，

直线CD的解析式为

     ∴  ,,即直线CD的解析式为

    ∴ 点E坐标为 （-8，0）, 点F坐标为 （2，10）,EH=FH=10，EF=10…2分

    假设线段OB的垂直平分线上存在点P，那么令点P坐标为 （2，m），

    过点P作PQ⊥CD交CD于点Q，则有OP=PQ=，PF=  ……2分

 由题意知，Rt△FPQ∽Rt△FEH．     

∴．∴

       解得                ……………………………………………1分

∴  点P坐标为 （2，），  ……………………………………………1分