Question

如图（1）在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，AF平分于∠BAC，交BD于点F。

1.求证：EF+－ AC =AB

2.点C₁从C出发，沿着线段CB向点B运动（不与点B重合），同时点A₁从A出发，沿着BA的延长线运动，点C₁与点A₁的运动速度相同，当运点C₁停止运动时，另一动点A₁也随之停止运动。如图（2）A_1、F₁平分∠BA∠BA₁C_1，交BD于F₁，过点F₁ 作F₁E₁⊥A₁C_1，垂足为E₁，请猜想E₁ F₁， A₁C₁，与AB三者之间的数量关系，并证明你的猜想

3.在（2）的条件下，当A₁E₁=3，C₁E₁=2，求BD的长。

Answer

1.过点F作FM⊥AB，RT△AMF≌△AEF   ∴AM＝AE   ∵∠ABE＝45°∴BM＝MF  ∴AB＝EF+AC

2.连接F1C1，过点F1作F1P⊥A1B于P，F1Q⊥BC于点Q

∵A1F平分∠BA1C1∴E1F1=PF1∴E1F1=PF1=QF1∵A1F=A1F∴RT△A1E1F1≌RT△A1PF1∴A1E1=A1P

同理QF1=PF1，∴E1F1=PF1=QF1∵A1F=A1F  RT△A1E1F1≌RT△A1PF1∴A1E1=A1P同理RT△QF1C1≌RT△E1F1C1

C1Q=C1E1∵A1A=C1C∴A1B+BC1=AB+A1A+BC=2AB∴PB=PF1=QF1=QB

∴A1B+BC1=A1P+PB+QB+C1Q=A1P+C1Q+2E1F1

∴2AB=A1E1+C1E1+2E1F1=A1C1+2E1F1

∴E1F1+A1C1=AB

3.设PB=X∴QB=X  

∵A1E1=3；E1C1=2；A1P=A1E1=3；QC1=C1E1=2在RT△A1BC1中A1B+BC1=A1C1即（3+X）+（2+X）=5

∴X1=1，X2=-6（舍）∴PB=1，E1F1=1，∵A1C1=5∴AB=，BD=

【解析】略