Question

如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，EF⊥EC交AB于F，连结FC

（AB＞AE）

1.△AEF与△EFC是否相似？若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由；

2.设＝k，是否存在这样的k值，使得△AEF∽△BFC，若存在，证明你的结论并求出k的值；若不存在，说明理由

Answer

1.如图，是相似．

延长FE，与CD的延长线交于点G．

在Rt△AEF与Rt△DEG中，

∵ E是AD的中点，

∴ AE＝ED．

∵ ∠AEF＝∠DEG，

∴ △AFE≌△DGE．

∴ ∠AFE＝∠DGE．

∴ E为FG的中点．

又 CE⊥FG，

∴ FC＝GC．

∴ ∠CFE＝∠G．

∴ ∠AFE＝∠EFC．

又 △AEF与△EFC均为直角三角形，

∴ △AEF∽△EFC．

2.存在．如果∠BCF＝∠AEF，即k＝＝时，△AEF∽△BCF．

证明：当＝时，＝，

∴ ∠ECG＝30°．

∴ ∠ECG＝∠ECF＝∠AEF＝30°．

∴ ∠BCF＝90°－60°＝30°．

又 △AEF和△BCF均为直角三角形，

∴ △AEF∽△BCF．

 因为EF不平行于BC，

∴ ∠BCF≠∠AFE．

∴ 不存在第二种相似情况

【解析】略