Question

如图，点D是⊙O直径CA的延长线上一点，点B在⊙O上，且AB＝AD＝AO．

（1）求证：BD是⊙O的切线；

（2）若点E是劣弧BC上一点，弦AE与BC相交

于点F，且CF＝9，cos∠BFA＝，求EF的长．

Answer

（1）证明：联结BO，……………………………1分

方法一：∵AB＝AD，∴∠D＝∠ABD，

∵AB＝AO，

∴∠ABO＝∠AOB，………………2分

又在△OBD中，∠D+∠DOB+∠ABO+∠ABD＝180°，

               ∴∠OBD＝90°，即BD⊥BO，

∴BD是⊙O的切线．····················· 3分

方法二：∵AB＝AO，BO＝AO，∴AB＝AO＝BO，∴△ABO为等边三角形，

∴∠BAO＝∠ABO＝60°，

∵AB＝AD，∴∠D＝∠ABD，

又∠D＋∠ABD＝∠BAO＝60°，∴∠ABD＝30°， …………………2分

∴∠OBD＝∠ABD＋∠ABO＝90°，即BD⊥BO，

∴BD是⊙O的切线． ……………………………………………………3分

方法三：∵ AB＝AD＝AO，∴点O、B、D在以OD为直径的⊙A上 …………2分

∴∠OBD＝90°，即BD⊥BO，

∴BD是⊙O的切线． ……………………………………………………3分

（2）【解析】
∵∠C＝∠E，∠CAF＝∠EBF，∴△ACF∽△BEF， ……………………·· 4分

             ∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，

在Rt△BFA中，cos∠BFA＝，∴，

             又∵CF=9，

∴EF=6．…………………5分

 【解析】略