Question

（本题8分）如图，四边形中，，平分，交于.

（1）求证：四边形是菱形；

（2）若点是的中点，试判断的形状，并说明理由.

Answer

证明：

（1）∵AB∥CD，即AE∥CD，

又∵CE∥AD，∴四边形AECD是平行四边形. 2分

∵AC平分∠BAD，∴∠CAE＝∠CAD，

又∵AD∥CE，∴∠ACE＝∠CAD，

∴∠ACE＝∠CAE，

∴AE＝CE，

∴四边形AECD是菱形；········· 4分

（2）证法一：∵E是AB中点，∴AE＝BE.

又∵AE＝CE，∴BE＝CE，∴∠B＝∠BCE，

∵∠B+∠BCA+∠BAC＝180°，

∴2∠BCE+2∠ACE＝180°，∴∠BCE+∠ACE＝90°.

即∠ACB＝90°，∴△ABC是直角三角形.

证法二：连DE，则DE⊥AC，且平分AC，

设DE交AC于F，∵E是AB的中点，∴EF∥BC.

∴BC⊥AC，∴△ABC是直角三角形.······· 8分