Question

如图，已知点C在⊙O上，延长直径AB到点P，连接PC，∠COB=2∠PCB．

（1）求证：PC是⊙O的切线；

（2）若AC=PC，且PB=3，M是⊙O下半圆弧的中点，求MA的长．

Answer

（1）∵OA=OC,

          ∴∠OAC=∠OCA.

∴∠COB=2∠OCA.

          ∵

∴∠OCA=∠PCB．………………………1分

          ∵AB是⊙O直径，

  ∴∠ACB=90°,   

          ∴∠OCA+∠OCB=90°．

∴∠PCB +∠OCB=90°．

          ∴∠PCO=90°, ………………………2分

∵点C在⊙O上，

              ∴PC是⊙O的切线.  ………………………3分

       (2) 连结BM．

∵M是⊙O下半圆弧中点  

∴  弧AM=弧BM,

∴AM=BM．

∵AB是⊙O直径，

∴∠AMB=90°.

∴∠BAM=∠ABM =45°

 ∵AC=PC,

∴∠OAC=∠P=∠OCA=∠PCB.

∵OC=OB,

∴∠OBC=∠OCB=2∠PCB.

∵∠PCO=90°,

∴∠PCB=∠P=∠OAC=∠OCA=30°.

∠OBC=∠OCB=60 °.

 ∵PB=3，

∴BC=3,

∴AB=6. ……………………………4分

在Rt△ABM中, ∠AMB =90°,

根据勾股定理，得AM= .        ……………………………5分

【解析】略