Question

已知抛物线y＝ax²＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，线段OB．OC的长（OB<OC）是方程x²－10x＋16＝0的两个根，且抛物线的对称轴是直线x＝－2．

1.求A、B、C三点的坐标；

2.求此抛物线的表达式

3.连接AC、BC，若点E是线段AB上的一个动点（与点A．点B不重合），过点E作EF∥AC交BC于点F，连接CE，设AE的长为m，△CEF的面积为S，求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；

4.在（3）的基础上试说明S是否存在最大值，若存在，请求出S的最大值，并求出此时点E的坐标，判断此时△BCE的形状；若不存在，请说明理由

Answer

1.解方程x2－10x＋16＝0得x1＝2，x2＝8 ………………………………1分

∵点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，且OB＜OC

∴点B的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，8）

又∵抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是直线x＝－2

∴由抛物线的对称性可得点A的坐标为（－6，0） …………………………………2分

2.∵点C（0，8）在抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象上

∴c＝8，将A（－6，0）、B（2，0）代入表达式，得

解得   

∴所求抛物线的表达式为y＝－x2－x＋8 ………………………………………5分

3.依题意，AE＝m，则BE＝8－m，

∵OA＝6，OC＝8，∴AC＝10

∵EF∥AC ∴△BEF∽△BAC

∴＝ 即＝

∴EF＝ …………………………………………6分 

过点F作FG⊥AB，垂足为G，则sin∠FEG＝sin∠CAB＝

∴＝ ∴FG＝·＝8－m

∴S＝S△BCE－S△BFE＝（8－m）×8－（8－m）（8－m）

＝（8－m）（8－8＋m）＝（8－m）m＝－m2＋4m ……………………………8分

自变量m的取值范围是0＜m＜8 …………………9分

4.存在．

理由：∵S＝－m2＋4m＝－（m－4）2＋8 且－＜0，

∴当m＝4时，S有最大值，S最大值＝8 ………………………………10分

∵m＝4，∴点E的坐标为（－2，0）

∴△BCE为等腰三角形． ……………………………………………12分

 【解析】略