Question

（本题满分14分，其中第（1）、（2）小题各4分，第（3）小题6分）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数的图像经过点A（-1,1）和点B（2,2），该函数图像的对称轴与直线OA、OB分别交于点C和点D．

1.（1）求这个二次函数的解析式和它的对称轴；

2.（2）求证：∠ABO=∠CBO；

3.（3）如果点P在直线AB上，且△POB

与△BCD相似，求点P的坐标．

Answer

1.（1）【解析】
由题意，得………………………………………（1分）

解得………………………………………………………………（1分）

∴所求二次函数的解析式为．……………………（1分）

对称轴为直线x=1．

2.（2）证明：由直线OA的表达式y=-x，得点C的坐标为（1,-1）．…………（1分）

∵，，∴AB=BC．…………………………………（1分）

又∵，，∴OA=OC．………………………………（1分）

∴∠ABO=∠CBO．

3.（3）【解析】
由直线OB的表达式y=x，得点D的坐标为（1,1）．………………（1分）

由直线AB的表达式，

得直线与x轴的交点E的坐标为（-4,0）．………………………………（1分）

∵△POB与△BCD相似，∠ABO=∠CBO，

∴∠BOP=∠BDC或∠BOP=∠BCD．

（i）当∠BOP=∠BDC时，由∠BDC==135°，得∠BOP=135°．

∴点P不但在直线AB上，而且也在x轴上，即点P与点E重合．

∴点P的坐标为（-4,0）．…………………………………………………（2分）

（ii）当∠BOP=∠BCD时，

由△POB∽△BCD，得．

而，，，∴．

又∵，∴．

作PH⊥x轴，垂足为点H，BF⊥x轴，垂足为点F．

∵PH∥BF，∴．

而BF=2，EF=6，∴，．

∴．

∴点P的坐标为（,）．………………………………………………（2分）

综上所述，点P的坐标为（-4,0）或（,）

【解析】略