Question

(10分) 已知,矩形中,,,的垂直平分线分别交、于点、,垂足为.

1.(1)如图1,连接、.求证四边形为菱形,并求的长；

2.(2)如图2,动点、分别从、两点同时出发,沿和各边匀速运动一周.即点自→→→停止,点自→→→停止.在运动过程中,

①已知点的速度为每秒5,点的速度为每秒4,运动时间为秒,当、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时,求的值.

②若点、的运动路程分别为、(单位:,),已知、、、四点为顶点的四边形是平行四边形,求与满足的数量关系式.

Answer

1.【解析】
（1）(1)证明:①∵四边形是矩形

∴∥

∴,

∵垂直平分,垂足为

∴

∴≌

∴ 

∴四边形为平行四边形

又∵

∴四边形为菱形       

2.(2)①显然当点在上时,点在上,此时、、、四点不可能构成平行四边形;同理点在上时,点在或上,也不能构成平行四边形.因此只有当点在上、点在上时,才能构成平行四边形        …………………5分

∴以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时,

∵点的速度为每秒5,点的速度为每秒4,运动时间为秒

∴,

∴,解得

∴以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时,秒. …………………8分

②由题意得,以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时,点、在互相平行的对应边上.

分三种情况:

i)如图1,当点在上、点在上时,,即,得

ii)如图2,当点在上、点在上时,, 即,得

iii)如图3,当点在上、点在上时,,即,得

综上所述,与满足的数量关系式是    …………………10分

【解析】略