Question

如图，抛物线与轴交于（，0）、（，0）两点，且，与轴交于点，其中是方程的两个根。（14分）

（1）求抛物线的解析式；

（2）点是线段上的一个动点，过点作∥，交于点，连接，当的面积最大时，求点的坐标；

（3）点在（1）中抛物线上，

点为抛物线上一动点，在轴上是

否存在点，使以为顶

点的四边形是平行四边形，如果存在，

求出所有满足条件的点的坐标，

若不存在，请说明理由。

Answer

见解析

【解析】

（1）∵，∴，。

∴，.

又∵抛物线过点、、，故设抛物线的解析式为，将点的坐标代入，求得。

∴抛物线的解析式为。················4分

（2）设点的坐标为（，0），过点作轴于点（如图（1））。

∵点的坐标为（，0），点的坐标为（6，0），

∴，。···························4分

∵MN∥BC，∴△AMN∽△ABC。

∴，∴，∴。·

∴

 ·

。

∴当时，有最大值4。

此时，点的坐标为（2，0）。·····························9分

（3）∵点（4，）在抛物线上，

∴当时，，

∴点的坐标是（4，）。

①  如图（2），当为平行四边形的边时，，

∵（4，），∴E（0，4）

∴，。

如图（3），当为平行四边形的对角线时，设，

则平行四边形的对称中心为（，0）。

∴的坐标为（，4）。

把（，4）代入，得。

解得 。

，。·························14分