Question

已知△DCE的顶点C在ÐAOB的平分线OP上，CD交OA于F, CE交OB于G.

   （1）如图1，若CD ^ OA, CE^ OB, 则图中有哪些相等的线段, 请直接写出你的结论:

                   ；

   （2）如图2, 若ÐAOB=120°, ÐDCE =ÐAOC, 试判断线段CF与线段CG的数量关系并

        加以证明；

   （3）若ÐAOB=a，当ÐDCE满足什么条件时，你在（2）中得到的结论仍然成立, 请

        直接写出ÐDCE满足的条件.

Answer

解:（1）结论: CF=CG, OF=OG.          ……………1分 

   （2）法一：过点C作CM ^ OA于M, CN^ OB于N.

∵ OC平分ÐAOB,

∴ CM=CN,    ÐCMF=ÐCNG=90°,   ‚ …………2分

   ÐAOC=ÐBOC.  

∵ ÐAOB=120°，

∴ ÐAOC=ÐBOC=60°,

ÐMCN =360°-ÐAOB-ÐCMF-ÐCNO =60°.

∴ ÐDCE=ÐAOC =60°.

∴ ÐMCN=ÐFCG.                    …………………………………………3分

∴ ÐMCN -ÐFCN =ÐFCG -ÐFCN.

即 Ð1 =Ð2.         ƒ                  …………………………………………4分

    由 ‚ƒ 得△CMF≌△CNG.

    ∴ CF=CG.                             …………………………………………5分

法二：在OB上截取一点H, 使得OH=OC.

∵ OP平分ÐAOB, ÐAOB=120°，

∴ Ð1=Ð2=60°, ÐDCE=Ð1=60°.

∵ OH=OC,

∴ △OCH是等边三角形.

∴ CO=CH, Ð2=Ð3 .      

∴ Ð1=Ð3 .   ‚            ……………………3分

∴ Ð4+Ð5=180°.

又 Ð5+Ð6=180°,

∴ Ð4=Ð6.   ƒ                         …………………………………………4分

由 ‚ƒ 得△CFO≌△CGH.

∴ CF=CG.                             …………………………………………5分

   （3） ÐDCE=180°- a 或OP平分ÐFCG .    …………………………………………6分

【解析】略