Question

已知关于x的两个一元二次方程：

方程①: ;   方程②: .

（1）若方程①有两个相等的实数根，求解方程②；

（2）若方程①和②中只有一个方程有实数根, 请说明此时哪个方程没有实数根, 并化

     简；

（3）若方程①和②有一个公共根a, 求代数式的值．

Answer

（1）∵方程①有两个相等实数根,     

③

④

    ∴

     由③得k + 2 ¹0,  

     由④得 (k + 2) (k+4) =0.

     ∵ k + 2¹0,

     ∴ k=-4.                                          …………………………1分

     当k=-4时, 方程②为: .    

      解得                    …………………………2分

   （2）由方程②得 2= .

法一2－1＝-(k + 2) (k+4) =3k2＋6k+5 =3(k+1)2＋2>0.

∴ 2>1.                        …………………………………………………3分

 ∵ 方程①、②只有一个有实数根，

 ∴  2>0> 1.

 ∴ 此时方程①没有实数根.                       ………………………………4分

 由  

 得 (k + 2) (k+4)<0.                              ………………………………5分

 .

 ∵ (k + 2) (k+4)<0,

 ∴ .                     ………………………………6分

 法二: ∵  2=>0.

  因此无论k为何值时, 方程②总有实数根.       …………………………………3分

 ∵ 方程①、②只有一个方程有实数根，

 ∴ 此时方程①没有实数根.                     …………………………………4分

 下同解法一.

( 3) 法一: ∵ a 是方程①和②的公共根,

    ∴ ;  .  

…………………7分

    ∴ , .

    =2+3=5.                              ……………………………………………8分

法二: ∵ a 是方程①和②的公共根,

    ∴ ;    ③  .   ④

    ∴（③－④）2得    ⑤

由④得     ⑥                  …………………………7分

将⑤、⑥代入原式，得

原式=

=

=5.                               ……………………………………………8分

【解析】略